Analyse & Probabilités - Le Tronc Commun du Bac Mathématiques
Prof. Mathieu Leblanc
Bienvenue dans la Maîtrise du Tronc Commun Bac Mathématiques
Tu prépares ton Bac ? Ce pack t'accompagne à travers les concepts essentiels du programme de mathématiques. De l'analyse des limites aux probabilités conditionnelles, tu maîtriseras tous les outils indispensables pour réussir. Ce que tu apprendras: - Limites de suites et fonctions - Continuité et dérivabilité - Dérivées et applications - Fonction logarithme naturel - Probabilités conditionnelles - Loi binomiale et distributions Prof Mathieu Leblanc décortique chaque théorème pour une compréhension solide !
Chapitre 1: Limites de Suites et Fonctions
Maîtrise les limites de suites, les limites de fonctions en +∞, -∞ et en un point. Comprends les théorèmes de comparaison et d'encadrement.
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Limites: Suites et Fonctions
**Limite d'une Suite** La limite d'une suite (uₙ) est la valeur vers laquelle la suite tend quand n tend vers +∞. Notation: lim(n→+∞) uₙ = L Exemple: uₙ = 1/n - Quand n augmente, 1/n diminue vers 0 - Donc: lim(n→+∞) 1/n = 0 **Limite d'une Fonction** Quand x s'approche d'une valeur a, f(x) s'approche d'une valeur L. Exemple: f(x) = x² - 3x + 2 - lim(x→2) f(x) = 4 - 6 + 2 = 0 **Théorèmes Importants**: - **Théorème du sandwich**: Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = L, alors lim f = L - **Limite à l'infini**: Pour les polynômes, c'est le degré du terme dominant qui compte 💡 **Astuce du Prof**: Factorise par le terme dominant pour calculer les limites à l'infini !
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Chapitre 2: Continuité et Dérivabilité
Comprends la continuité d'une fonction, le théorème des valeurs intermédiaires, et introduis la dérivabilité.
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Continuité, Dérivabilité et Théorème des Valeurs Intermédiaires
**Continuité en un Point** Une fonction f est continue en a si: 1. f(a) est définie 2. lim(x→a) f(x) existe 3. lim(x→a) f(x) = f(a) Exemple: f(x) = x² est continue partout car c'est un polynôme. **Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)** Si f est continue sur [a,b] et k est entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k. **Dérivabilité** Une fonction est dérivable en a si la limite du taux d'accroissement existe: f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)]/h **Propriété**: Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. (Mais une fonction continue n'est pas forcément dérivable !) 💎 **Formule du Prof**: Visualise la dérivée comme la pente de la tangente à la courbe !
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Chapitre 3: Dérivées et Logarithmes
Maîtrise les formules de dérivation, les applications (tangentes, variations), et la fonction logarithme naturel.
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Dérivées, Variations et Fonction Logarithme
**Formules de Dérivation Essentielles** - (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ - (eˣ)' = eˣ - (ln(x))' = 1/x - (uv)' = u'v + uv' (Produit) - (u/v)' = (u'v - uv')/v² (Quotient) **Étude de Variations** 1. Calculer f'(x) 2. Trouver les racines de f'(x) = 0 3. Étudier le signe de f'(x) 4. Conclure sur les variations de f **Fonction Logarithme Naturel ln(x)** - Domaine: ]0, +∞[ - ln(1) = 0 - ln(e) = 1 - ln(ab) = ln(a) + ln(b) - ln(a/b) = ln(a) - ln(b) - ln(aⁿ) = n·ln(a) - (ln(x))' = 1/x **Lien avec l'exponentielle**: ln et exp sont des fonctions réciproques - ln(eˣ) = x - e^(ln(x)) = x ⚠️ **Important**: Ne jamais oublier le domaine de définition !
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Chapitre 4: Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale
Probabilités conditionnelles, indépendance, schéma de Bernoulli et loi binomiale avec applications.
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Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale
**Probabilité Conditionnelle** La probabilité de A sachant que B est réalisé: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) Exemple: Parmi 100 étudiants, 60 font des maths, 40 font de la physique, 25 font les deux. P(Maths | Physique) = 25/40 = 5/8 = 0,625 **Indépendance** Deux événements A et B sont indépendants si: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) **Schéma de Bernoulli** Expérience répétée n fois où chaque épreuve a 2 résultats possibles: - Succès (probabilité p) - Échec (probabilité 1-p) **Loi Binomiale B(n, p)** Le nombre de succès X suit une loi binomiale si: P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k) où C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) (combinaison) Exemple: Lance une pièce 5 fois, probabilité d'obtenir exactement 3 faces: P(X = 3) = C(5,3) × (0,5)³ × (0,5)² = 10 × 0,125 × 0,25 = 0,3125 **Espérance et Variance** - E(X) = n × p - Var(X) = n × p × (1-p) 💎 **Formule du Prof**: Dessine un arbre de probabilités pour visualiser les chemins !
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Quiz: Valide ta Compréhension du Tronc Commun Bac
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Analyse & Probabilités - Le Tronc Commun du Bac Mathématiques
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- ✓L'intégralité du pack accessible à vie
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